একটি জমির ক্ষেত্রফল 432 বর্গমিটার। ঐ জমির দৈর্ঘ্য ও যথাক্রমে 3:4 এবং 2:5, অপর জমিটির ক্ষেত্রফল কত?

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য বেশ কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে। সাধারণ কিছু পদ্ধতি নিচে আলোচনা করা হলো:

১. ভিত্তি ও উচ্চতা ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল নির্ণয়

যদি ত্রিভুজের একটি ভিত্তি (Base) \( b \) এবং উচ্চতা (Height) \( h \) জানা থাকে, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( A \) নির্ণয় করা যায় নিচের সূত্র দিয়ে:
\[
A = \frac{1}{2} \times b \times h
\]

২. তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক দিয়ে ক্ষেত্রফল নির্ণয়

যদি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), এবং \( C(x_3, y_3) \) জানা থাকে, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( A \) নির্ণয় করা যায় নিচের সূত্র দিয়ে:
\[
A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]

৩. হারনের সূত্র (Heron's Formula) দিয়ে ক্ষেত্রফল নির্ণয়

যদি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য \( a \), \( b \), এবং \( c \) জানা থাকে, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( A \) নির্ণয় করতে হারনের সূত্র ব্যবহার করা হয়। প্রথমে, ত্রিভুজের পরিধির অর্ধেক \( s \) বের করতে হবে:
\[
s = \frac{a + b + c}{2}
\]
এরপর, ক্ষেত্রফল \( A \) নির্ণয় করতে নিচের সূত্র ব্যবহার করা হয়:
\[
A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}
\]

উদাহরণ

ধরুন, একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( A(1, 2) \), \( B(4, 6) \), এবং \( C(7, 2) \)।

সমীকরণ ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল:

\[
A = \frac{1}{2} \left| 1(6 - 2) + 4(2 - 2) + 7(2 - 6) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 1 \times 4 + 4 \times 0 + 7 \times -4 \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 4 - 28 \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \times 24 = 12
\]

অতএব, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( 12 \) বর্গ একক।

এই পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে বিভিন্ন ধরনের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।